Question

如图，三棱锥中，底面ABC，M是 BC的中点，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为. 求：

（1）三棱锥的体积；

（2）异面直线PM与AC所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

Answer

（1）2;（2）．

【解析】

试题（1）欲求三棱锥P-ABC的体积，只需求出底面积和高即可，因为底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面积可用来计算，其中a是正三角形的边长，又因为PA⊥底面ABC，所以三棱锥的高就是PA长，再代入三棱锥的体积公式即可．（2）欲求异面直线所成角，只需平移两条异面直线中的一条，是它们成为相交直线即可，由M为BC中点，可借助三角形的中位线平行于第三边的性质，做出的中位线，就可平移BC，把异面直线所成角转化为平面角，再放入中，求出角即可．

试题解析：（1）因为底面，与底面所成的角为

所以, 因为，所以

（2）连接，取的中点，记为，连接，则

所以为异面直线与所成的角

计算可得：，，

异面直线与所成的角为．