Question

已知函数.

（1）作出函数的图像；

（2）根据（1）所得图像，填写下面的表格：

性质	定义域	值域	单调性	奇偶性	零点

（3）关于的方程恰有6个不同的实数解，求的取值范围.

Answer

（1）见解析；（2）定义域，值域，在和上单调递增，在和上单调递减，偶函数，无零点；（3）.

【解析】

（1）利用分类讨论求出分段函数后可得其图象.

（2）根据（1）的图象可得的单调区间、值域、奇偶性和零点情况.

（3）令，则有两个不同的解和，且，，根据根的分布可求的取值范围.

（1）.

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

故的图象如图所示：

（2）由（1）得函数的定义域为.

函数的单调增区间为和，单调减区间为和.

为偶函数，其值域为.

无零点.

填表如下：

性质

定义域

值域

单调性

奇偶性

零点

增区间为和

减区间为和

偶函数

无

（3）令，

则且方程有2个不同的实根或4个不同的实根或无解，

因为方程恰有6个不同的实数解，

所以有两个不同的解和，

且有两个不同的解，有4个不同的解.

结合（1）中的图象可知，，，

由韦达定理可知

故，所以.