Question

如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点D、E、F分别为线段A₁C₁、AB、A₁A的中点，A₁A＝AC＝BC，∠ACB＝90°．求证：

（1）DE∥平面BCC₁B₁；

 （2）EF⊥平面B₁CE．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）取B1C1的中点M，连接D1M，BM，证明四边形DMBE是平行四边形，得到证明.

（2）根据勾股定理得EF⊥CE，根据三角函数关系得到EF⊥B1E，得到证明.

（1）如图所示：取B1C1的中点M，连接D1M，BM，由题意得DM∥A1B1，

∴DM∥AB，且DM是△A1B1C1的中位线，DMAB＝BE，

所以四边形DMBE是平行四边形，

∴DE∥BM，又DE⊈面BCC1B1，BM⊂面BCC1B1

∴DE∥平面BCC1B1．

（2）由题意设AC＝2，则AB＝2，AE，AF＝1，

在△AEF中，EF，

而CEAB，Rt△ACF中，CF，

∴△CEF中CE2+EF2＝CF2，由勾股定理得，EF⊥CE，

tan∠FEC，tan∠BEB1，所以tan∠FEC•tan∠BEB1＝1，

所以EF⊥B1E，又CE∩EB1＝E，CE⊆平面B1CE，B1E⊆平面B1CE，

∴EF⊥平面B1CE．