Question

在如图的空间几何体中，是等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，为中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取中点为，连接和，可得面面，进而可得结论；

（Ⅱ）法一，利用几何法求线面角；法二，建立空间直角坐标系，利用向量运算求线面角.

法一：（Ⅰ）证明：取中点为，连接和，

有，面，

有，面，

，面面.

面，平面；

（Ⅱ）四边形为梯形，，为中点，

，即四边形为平行四边形，

.

要求与平面所成角，只需求与平面所成角，

连接，，

由题意可知，，，

面，

面面，

点到面的距离就是点到的距离.

，

面，，

，

，又，，

点到的距离为.

在三棱锥中，，

根据，.

记点到面的距离为，

由，得.

所以与平面所成角的正弦为.

法二：以为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图，

设点

由题意可得：

由

设平面法向量为，

，

即：，

故与平面所成角的正弦值为.