Question

已知：抛物线，斜率为的直线与的交点为，，点在直线的右上方.分别过点作斜率不为0，且与只有一个交点的直线为.

（Ⅰ）证明：直线的方程是；

（Ⅱ）若；求面积的最大值；

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）设，联立方程得直线的斜率为，进而利用点斜式写出方程整理即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，联立这些直线方程解得其交点坐标，利用向量把面积表示出来，再利用函数的导函数可得最值.

（Ⅰ）法一：点满足，即，

设直线方程是

由，消去得

得，

故直线是，

化简得，

所以直线是的方程是.

法二：

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得切线分别为：；

联立直线得：

即：

所以，

，

代入面积公式得：

，

令，则，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以的最大值为，

所以.