Question

已知.其中，…为自然对数的底数；

（Ⅰ）若为函数的极值点，求的值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围；

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（I）求出函数的导函数，当时，，解得的值；

（Ⅱ）将不等式恒成立转化为，构造函数，易证在上单调递增，进而可得，再构造函数，再研究单调性，进而可得结论.

（Ⅰ）

为函数的极值点，

，得，

经检验，当时，

为函数的极小值点.

（Ⅱ），

即，

，

令，易知在上单调递增，

，

即.

令，

由，得，

由在上单调递增，

和在上单调第减，

是的唯一解，

当时，；当时，，

则，故.

综上，的取值范围是.