Question

如图1，在等腰直角三角形中，，，、分别是，上的点，，为的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.

(1)证明：平面；

(2)求二面角的平面角的余弦值；

(3)求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题(1)在图1、2中，连接，，易得，利用勾股定理得

，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面.

(2)在图2中，得到就是二面角的平面角，在中，即可求解二面角的大小；

(3)取中点，连接和，得到就是直线与平面所成的角，即可求解线面角的大小.

试题解析：

(1)在图1、2中，连接，，易得，，，，

因为，所以

,，

即，，

所以平面.

(2)在图2中设，交于点，取中点，连接，，则

，，

则就是二面角的平面角，

其中，，

.

(3)取中点，连接和，作，则平面，

所以就是直线与平面所成的角，

易得，，

所以.