Question

在数列中，.从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列.例如数列、、、为的一个项子列.

（1）试写出数列的一个项子列，并使其为等差数列；

（2）如果为数列的一个项子列，且为等差数列，证明：的公差满足；

（3）如果为数列的一个项子列，且为等比数列，证明：

.

Answer

（1）答案不唯一.如项子列，，；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题（1）根据题中的定义写出一个项子列即可；（2）对是否等于进行分类讨论，结合条件“为等差数列”，利用公差推出矛盾，从而得到，再由结合证明；

（3）注意到数列各项均为有理数，从而得到数列的公比为正有理数，从而存在、使得，并对是否等于进行分类讨论，结合等比数列求和公式进行证明.

试题解析：（1）答案不唯一.如项子列、、；

（2）由题意，知，

所以.

若，

由为的一个项子列，得，

所以.

因为，，

所以，即.

这与矛盾.

所以.

所以，

因为，，

所以，即，

综上，得；

（3）由题意，设的公比为，

则.

因为为的一个项子列，

所以为正有理数，且，.

设，且、互质，）.

当时，

因为，

所以

，

，

所以.

当时，

因为是中的项，且、互质，

所以，

所以

.

因为，、，

所以.

综上，.