Question

如图所示，平面平面，平面平面，平面，为垂足.

（1）求证：平面；

（2）当为的垂心时，求证：是直角三角形.

Answer

(1)见解析.(2)见解析.

【解析】

（1）在平面内取一点，作于，于.根据面面垂直的性质定理证得和，由此证得平面.（2）连接并延长交于.根据是三角形的垂心，得到,而，由此证得平面，进而证得,结合,证得平面，由此证得,由此证得三角形是直角三角形.

(1）在平面内取一点，作于，于.

∵面平面，且平面平面，

平面.

又平面，.同理可证.

，平面.

（2）连接并延长交于.

是的垂心，，又平面，故，又，平面，.

又平面，，又，平面，，即是直角三角形.