Question

如图，直三棱柱中，，，分别为上的点，且

（1）当为的中点时，求证：；

（2）当在线段上运动时（不含端点），求三棱锥体积的最小值.

Answer

（1）见解析； （2）当， 取得最小值，最小值为18.

【解析】

（1）为中点时，平行四边形为正方形，，由已知得，，由此能证明．

（2）设，则，，．到面距离即为的边所对应的，从而即可求解．

（1）证明：因为D为的中点，，所以为的中点.

因为三棱柱为直三棱柱，，

所以四边形为正方形，所以.

因为，D为的中点，所以.

因为平面平面，

且平面平面，

所以平面，

又平面，

所以.

因为，所以平面，

又平面，所以.

（2）【解析】
设，则，，．

由已知可得到面距离即为的边所对应的高．

当时，有最小值为18．