Question

已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S—ABC的体积为（ ）

A. B. C. D.1

Answer

C

【解析】

设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD 因为线段SC是球的直径， 
所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90° 
所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30° 得：AC=2，SA=2 
又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30° 得：BC=2，SB=2 则：SA=SB，AC=BC
因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD=== 
在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD=== 
又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S-ABC的体积：V=AB•S△SCD， 
因为：SD=，CD=，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD 2-SC 2）=（+-16）== 
则：sin∠SDC== 
由三角形面积公式得△SCD的面积S=SD•CD•sin∠SDC==3 
所以：棱锥S-ABC的体积：V=AB•S △SCD== 
故选C

解析:

本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，有难度的题目，常考题型． 设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出S △SCD，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积．