Question

如图，正方体中，棱长，过点的平面与正方体的面相交，交线围成一个正三角形．

（1）在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；

（2）平面将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积．

Answer

（1）正三角形见解析；（2）体积为，表面积为．

【解析】

试题（1）连接，则为所求三角形；（2）截去部分占总体积的六分之一，故较大部分的体积为．表面积等于一个等边三角形的面积加上三个直角三角形的面积再加上三个正方形的面积，故表面积为．

试题解析：

（1）连接，则为所求三角形（做法不唯一），如图所示；

（2）平面将正方体截成三棱锥和多面体两部分，

，

，

因此体积较大的几何体是多面体，其体积为，

由，得，

又，，

故多面体的表面积为．