Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1．

（1）若直线PB与CD所成角的大小为求BC的长；

（2）求二面角B－PD－A的余弦值．

Answer

(1) BC的长为2;(2)二面角的余弦值为.

【解析】

试题（1）以为单位正交基底，建立空间直角坐标系．设，则，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可；（2）分别求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

试题解析：【解析】
（1）以{ }为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．因为AP＝AB＝AD＝1，所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．设C(1，y，0)，则＝(1，0，－1)，＝(－1，1－y，0)．

因为直线PB与CD所成角大小为，

所以|cos＜，＞|＝| |＝ ，

即，解得y＝2或y＝0（舍），

所以C(1，2，0)，所以BC的长为2．

（2）设平面PBD的一个法向量为＝(x，y，z)．

因为＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，

则即

令x＝1，则y＝1，z＝1，所以＝(1，1，1)．

因为平面PAD的一个法向量为＝(1，0，0)，

所以cos＜，＞＝

所以，由图可知二面角B－PD－A的余弦值为．