Question

如图，已知三棱柱，平面，，，，是的中点，是线段上的动点.

（1）求证：平面平面；

（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长度.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）由线面垂直的性质和平行关系得到，由线面垂直判定定理可证得平面，由面面垂直判定定理可证得结论；

（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用共线向量表示出点坐标，根据线面角的向量求法可构造方程求得，得到点坐标；利用两点间距离公式可求得结果.

（1）平面，平面

又

，即，平面，

平面，又平面 平面平面

（2）以为原点，可建立如下图所示空间直角坐标系

则，，，，

，，

设，且，

，则

设平面的法向量

则，令，则，

设直线与平面所成角为

则，解得：或（舍）

此时