Question

如图，在直三棱柱中，底面△是等腰直角三角形，，为侧棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据直棱柱的几何性质证得，由此证得平面.

（2）首先通过平移作出异面直线与所成的角（或其补角）.解法一，通过解直角三角形求得异面直线与所成的角的正切值，由此求得异面直线与所成的角的大小.解法二，利用余弦定理解三角形，求得异面直线与所成的角的余弦值，由此求得异面直线与所成的角的大小.

（1）因为底面△是等腰直角三角形，且，所以，，

因为平面，所以，

又，

所以，平面．

（2）取点，连结、，则∥

所以，就是异面直线与所成角（或其补角）．

解法一：由已知，，，所以平面，所以△是直角三角形，且，

因为，，所以，，

所以，异面直线与所成角的大小为．

解法二：在△中，，，，

由余弦定理得，．

所以，异面直线与所成角的大小为．