Question

已知数列、满足：，，，．

（1）求，，，；

（2）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；

（3）设，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1），，，（2）证明见解析，（）（3）

【解析】

（1）根据已知条件求得与的递推关系式，由此先求出，进而依次求得的值.

（2）由（1）中求得的与的递推关系式，利用配凑法证得数列是等差数列，由此求得数列的通项公式，进而求得数列的通项公式.

（3）由（2）求得数列的通项公式，利用裂项求和法求得.

解法一：利用分离常数法化简不等式，得到，利用数列的单调性证得，由此求得的取值范围.

解法二：通过差比较法，化简，对分类讨论，结合二次函数的性质求得的取值范围.

（1）由于，所以，

因为，所以，，，，．

（2），，

所以，，

所以，数列是以为首项，为公差的等差数列．

所以，，（）．

（3）因为，从而，

所以，

，

解法一：

所以，不等式化为，

即当时恒成立，

令，

则随着的增大而减小，且恒成立．

故，所以，实数的取值范围是．

解法二：

，

若不等式对任意恒成立，则当且仅当对任意恒成立．

设，由题意，，

当时，恒成立；

当时，函数图像的对称轴为，

在上单调递减，即在上单调递减，故只需即可，

由，得，所以当时，对恒成立．

综上所述，实数的取值范围是．