Question

如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，为侧棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）

Answer

（1）证明见解析 （2）

【解析】

（1）推导出，，由此能证明平面．

（2）以为原点，直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．

（1）∵底面是等腰直角三角形，且，

∴，

∵平面，

∴，

∵，

∴平面．

（2）以为原点，直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

由（1）得是平面的一个法向量，

，，

设平面的一个法向量，

则，

取，得，

设二面角的平面角为，

则，

由图形知二面角的大小是锐角，

∴二面角的大小为．