Question

定义上的函数,若满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的上界.

(1)设,判断在上是否有界函数,若是,请说明理由,并写出的所有上界的值的集合,若不是,也请说明理由;

(2)若函数在上是以3为上界的有界函数,求实数的取值范围.

Answer

(1)若是,理由见解析,;(2).

【解析】

（1）化简，从而可得，即，从而得解；

（2）由题意知在上恒成立，从而可得，再令，则，进而可得在上恒成立，从而化为最值问题.

(1),则在上是增函数,故

,即,

故,所以是有界函数.

所以,上界满足,所有上界的集合是.

(2)因为函数在上是以3为上界的有界函数,

故在上恒成立,即,

所以,(),

所以(),

令,则,

故在上恒成立,

所以,(),

令,则在时是减函数,

所以;

令,则在时是增函数,

所以.

所以,实数的取值范围是.