Question

定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．

（1）设，判断在上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出的所有上界的集合；若不是，也请说明理由；

（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．

Answer

（1）是，理由见解析，（2）

【解析】

（1）根据的单调性求得在区间上的取值范围，由此得出，进而判断出在在上是有界函数，并由此求得所有上届的集合.

（2）根据的上界得到，令进行换元、分离常数，将问题转化为，然后利用导数求得在区间上，函数的最大值以及函数的最小值，由此求得实数的取值范围.

（1），，则在上是增函数，故，即，

故，所以是有界函数．

所以，上界满足，所有上界的集合是．

（2）由题意，对恒成立，

即，

令，则，原不等式变为，

故， 故，

令，当时，，即函数在区间上是增函数，故.

令，当时，，即函数在区间上是减函数，故．

综上，实数的取值范围是．