Question

已知椭圆经过点，且长轴长是短轴长的2倍．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点在椭圆上运动，点在圆上运动，且总有，求的取值范围；

（3）过点的动直线交椭圆于、两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明由．

Answer

（1）．（2）（3）存在，

【解析】

（1）根据长轴长是短轴长的2倍，可得之间的关系，把点的坐标代入椭圆方程中，这样可以求出的值，进而求出椭圆的标准方程；

（2）设，求出圆的圆心坐标，根据两点间距离公式写出的表达式，根据椭圆的范围，求出的取值范围，根据圆的半径和的大小关系，进行分类讨论，最后求出的取值范围；

（3）由对称性可知，点一定位于轴上，设，，，

根据题意可以判断，根据直线是否存在斜率进行分类讨论.当存在斜率时，直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合，可以判断存在定点满足题意，并求出定点；当不存在斜率时，解方程组，最后判断是否满足刚得到定点条件.

（1）因为长轴长是短轴长的2倍，所以有，椭圆过点

，所以有：所以椭圆的标准方程为；

（2）设，，

则，，

∴，∴，

①时，，

②时，，

综上，．

（3）由对称性可知，点一定位于轴上，

设，，，

则（*），

①的斜率存在时，设，代入椭圆方程，

得，

，

则（*）式为，

即，

，

整理，得，

∴，得．

②的斜率不存在时，，代入椭圆方程，得，

∴此时以为直径的圆的方程为，也经过点．

综上，存在满足题设条件．