Question

如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2.

（1）求证：BF∥平面ADE；

（2）若二面角E-BD-F的余弦值为，求线段CF的长.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

(1)以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，设，然后证明的方向向量和面的法向量数量积为0即可;

(2)分别求出平面和平面的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为列式求线段的长.

(1)证明:以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，可得，，，，

设，则，

则是平面的法向量，

又，可得，

又∵直线平面，

∴平面.

(2)设为平面的法向量，

则，取，可得，

设为平面的法向量，

则，令，得，

由题意，

解得，经检验，符合题意.

∴线段的长为.