Question

如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．

（1）求||；

（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．

①当λ=时，求•；

②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）①②

【解析】

（1）利用余弦定理求出的长即得||；
（2）① 时，分别是的中点，表示出，，利用向量的数量积计算即可；
②假设存在非零实数，使得⊥，利用分别表示出 和

求出 时的值即可．

（1） 且

（2）①λ=时， =， =，

∴D、E分别是BC，AB的中点，

∴=+=+，

=（+），

∴•=（+）•（+）

=•+•+•+

=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22 =；

②假设存在非零实数λ，使得⊥，

由=λ，得=λ（﹣），

∴=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；

又=λ，

∴=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣；

∴•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）

=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）

=﹣3λ2+2λ=0，

解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；

即存在非零实数λ=，使得⊥．