Question

某公司生产的某批产品的销售量万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足（其中，为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元件．

（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？

Answer

（1）；

（2）当时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；当时，促销费用投入万元时，该公司的利润最大．

【解析】

（1）根据产品的利润销售额产品的成本建立函数关系；

（2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．

【解析】
（1）由题意知，，

将代入化简得：；

（2），

当且仅当，即时，上式取等号；

当时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；

，，

时，函数在，上单调递增，

时，函数有最大值．即促销费用投入万元时，该公司的利润最大．