Question

已知函数，实数且

（1）设，判断函数在上的单调性，并说明理由；

（2）若不等式对恒成立，求的范围.

Answer

（1）函数在上单调递增，证明见解析．（2）．

【解析】

（1）根据反比列函数的单调性，即可判断在上的单调性，由函数的单调性的定义即可证明；

（2）依题有，在恒成立，即在恒成立．通过分离变量可知，在恒成立，再分别求出在上的最大值，在在上的最小值，解不等式组即可求出的范围．

（1）函数的定义域为，

因为，，所以在和上单调递增，而或，所以函数在上单调递增．

设，，则

，

因为，所以或，

即，又，因此，，即．

故函数在上单调递增．

（2）依题可得，在恒成立，即在恒成立．通过分离变量可知，在恒成立．

设，，

，所以在上单调递减，故．

设，，

，所以在上单调递增，故．

因此，解得，且．

故的范围为．