Question

已知各项为正的数列{a_n}是等比数列，a₁=2，a₅=32，数列{b_n}满足：对于任意n∈N^*，有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n﹣1）•2ⁿ⁺¹+2．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）令f（n）=a₂+a₄+…+a_2n，求的值；

（3）求数列{b_n}通项公式，若在数列{a_n}的任意相邻两项a_k与a_k+1之间插入b_k（k∈N^*）后，得到一个新的数列{c_n}，求数列{c_n}的前100项之和T₁₀₀．

Answer

（1） （2）4（3），==251+1273

【解析】

（1）利用，即可得出；
（2）利用等比数列的求和公式可得，再利用极限的运算法则即可得出；
（3）由，当时，，两式相减得：可得满足上式，可得.设表示数列的前项之和，，即可得出.

【解析】
（1），
，
；
（2），

，
；
（3）∵，
∴当时，，
两式相减得：，

即，
又，即满足上式，
；
设表示数列的前n项之和，

.