Question

若无穷数列满足：只要,必有,则称具有性质.

（1）若具有性质,且,求；

（2）若无穷数列是等差数列,无穷数列是等比数列,,,.判断是否具有性质,并说明理由；

（3）设是无穷数列,已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

Answer

（1）（2）不具有性质,详见解析（3）证明见解析

【解析】

（1）根据具有性质,且,可得,又因为,,,则,代入数据即可得结果.

（2）,得出的公差和的公比,即可设和的通项公式,得出.因为,则,,得出,所以不具有性质.

（3）先证充分性：当为常数列时,.对任意给定的,只要,则由,必有.充分性得证.

再证必要性：用反证法证明.假设不是常数列,则存在,使得,而.证明存在满足的,使得,但.设,取,使得,再根据条件类推,得出不具有性质,矛盾.必要性得证即可得出结论.

【解析】
（1）因为,所以,,,.

所以,又因为,解得

（2）的公差为,所以,

的公比为,所以

所以.

所以,,,因为,

所以不具有性质.

（3）证明充分性：

当为常数列时,.

对任意给定的,只要,则由,必有.

充分性得证.

证明必要性：用反证法证明.假设不是常数列,则存在,

使得,而.

下面证明存在满足的,使得,但.

设,取,使得,则

,,故存在使得.

取,因为（）,所以,

依此类推,得.

但,即.

所以不具有性质,矛盾.必要性得证.

综上,“对任意,都具有性质”的充要条件为“是常数列”