Question

如图，在直三棱柱中，是边长为4的正方形，，.

 

（1）求直线与平面所成的角的大小；

（2）证明：在线段上存在点，使得，并求的值；

Answer

（1）；（2）证明见解析，；

【解析】

（1）由题易证两两垂直,则以为原点,以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,分别求得和平面的法向量,进而求解即可；

（2）设,解得,再求得和,利用求解即可

（1）由题,,

,即,

直三棱柱,

平面,

以为原点,以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图所示,

则,,,,

,,,

设为平面的法向量,

,即,设,则,,

,

直线与平面所成的角的正弦值为,

直线与平面所成的角为

（2）证明：在线段上,

设,,

由（1）,,,

,,即,

,

,,

,即,

,

在线段上存在点,当时, 使得