Question

已知且，函数，记.

（1）求函数的定义域及其零点；

（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ），零点是0；（Ⅱ）当时，；当时，．

【解析】

试题（Ⅰ）先由对数函数中真数大于零建立不等式组求得定义域，再令解出函数零点；（Ⅱ）把关于的方程化为，则设，然后利用函数的性质求解．

试题解析：（Ⅰ），

由，解得，所以函数的定义域为．

令，则（*）

方程变为，，即，解得，（舍）．

综上函数的定义域，零点是．

（Ⅱ），

则，在上是单调函数，

设，则函数在区间上是减函数，

当时，此时，，所以．

所以当，则，方程有解；②当，则，方程有解．