Question

（1）设椭圆与双曲线有相同的焦点、，是椭圆与双曲线的公共点，且△的周长为6，求椭圆的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”；

（2）如图，已知“盾圆”的方程为，设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值；

（3）由抛物线弧（）与第（1）小题椭圆弧（）所合成的封闭曲线为“盾圆”，设过点的直线与“盾圆”交于、两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3），；，；.

【解析】

（1）由由的周长为得,由椭圆与双曲线共焦点可得值,根据平方关系求得,进而即可得到椭圆方程；

（2）设“盾圆”上的任意一点的坐标为,,分为与两种情况表示出,再分别计算,即可求得定值；

（3）由“盾圆”的对称性,不妨设在轴上方（或轴上）,分类讨论：时,在椭圆弧上；时,在抛物弧上,由条件可表示出此时,相应地, 再按时, 在抛物弧上,在椭圆弧上；当时,在椭圆弧上, 在抛物弧上；当时, 、在椭圆弧上,利用三角函数性质分别求出的范围

（1）由的周长为得,椭圆与双曲线有相同的焦点,所以,即,则,,则椭圆的方程为

（2）证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为,

当时,,,

即；

当时,,,

即；

所以为定值.

（3）显然“盾圆”由两部分合成,所以按在抛物弧或椭圆弧上加以分类,由“盾圆”的对称性,不妨设在轴上方（或轴上）；

当时,,此时,；

当时,在椭圆弧上,由题设知代入得,,整理得,解得或（舍去）

当时,在抛物弧上,方程或定义均可得到,于是,

综上,或；

相应地,,

当时, 在抛物弧上,在椭圆弧上,

；

当时,在椭圆弧上, 在抛物弧上,

;

当时, 、在椭圆弧上,

；

综上, ，；，；

的取值范围是