Question

已知函数.

（1）直接写出的值及函数的单调递增区间（不必写过程步骤）；

（2）若在开区间恰有三个零点，求实数的取值范围；

（3）函数在闭区间上的最大值和最小值分别为，记，当时，求的最小值.

Answer

（1）；当时，增区间；当时，增区间为；（2）；（3）1

【解析】

（1）分段表示出的解析式即可求出答案；（2）作出图象，根据（1）所求解析式即可；

（3）根据条件表示出（a）（a），，利用不等式进行放缩得解.

（Ⅰ）

当时，，则，

同理时，，

故；

时，，对称轴为，

时，，对称轴为，

则当时，函数的单调增区间为，，

当时函数的单调调增区间为；

（2）若在开区间恰有三个零点，

即，与恰有三个公共点，如图

由（1）知，有且满足，

即，解得

（3）由（1）知（a）

所以（a）（a），，

进一步可化为（a）（a），

注意到（a），

由得：

当且仅当（a）时，等号成立，

即时，（a）有最小值1．