Question

已知二次函数满足，且.

（1）求的解析式；

（2）设函数，当时，求的最小值；

（3）设函数，若对任意，总存在，使得成立，求m的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

(1) 根据二次函数,则可设,再根据题中所给的条件列出对

应的等式对比得出所求的系数即可.

(2)根据(1)中所求的求得,再分析对称轴与区间的位置关系进行分类讨论求解的最小值即可.

(3)根据题意可知需求与在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.

(1)设.

①∵,∴,

又∵,

∴,可得,

∴解得即.

(2)由题意知,,,对称轴为.

①当,即时,函数h(x)在上单调递增,

即；

②当,即时,函数h(x)在上单调递减,在上单调递增,

即.

综上,

(3)由题意可知,

∵函数在上单调递增,故最小值为,

函数在上单调递减,故最小值为,

∴,解得.