Question

已知函数,其中.若存在实数,使得关于的方程有三个不同的解,且函数仅有两个零点,则实数的取值范围是__________.

Answer

【解析】

画出和的图像根据存在实数，使得关于的方程有三个不同的解，得到的不等式，解得的范围，根据仅有两个零点，得到对恒成立，得到，从而又得到一个关于的不等式，解得的范围，从而得到答案.

当时，，在上单调递减，

，在上单调递增，

所以方程至多有两个不同的解，不满足题意.

所以，

作出和的图像如图，

要使方程有三个不同的解

则和的图像有三个不同的交点，

则，解得；

因为函数仅有两个零点

作出和的图像，如图，

因为，所以在上一定有两个交点，

所以当时，恒成立，

即恒成立，

则，

解得，

综上所述，满足要求的的取值范围为.

故答案为：.