Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．

（1）求证：AF∥平面BCE；

（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；

（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】

（1）取CE的中点G，由三角形的中位线性质证明四边形GFAB为平行四边形，得到AF∥BG，从而证明AF∥平面BCE．

（2）通过证明AF⊥CD，DE⊥AF，从而证明AF⊥平面CDE，再利用BG∥AF证明BG⊥平面CDE，进而证明平面BCE⊥平面CDE．

（3）在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，由平面BCE⊥平面CDE，得 FH⊥平面BCE，故∠FBH为BF和平面BCE所成的角，解Rt△FHB求出∠FBH的正弦值．

（1）证明：取CE的中点G，连FG、BG．

∵F为CD的中点，∴GF∥DE且．

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，∴GF∥AB．

又，∴GF＝AB．

∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．

∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，

∴AF∥平面BCE．

（2）证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．

∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．

又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE．

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．

∵BG⊂平面BCE，

∴平面BCE⊥平面CDE．

（3）【解析】
在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连BH．

∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE．

∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．

设AD＝DE＝2AB＝2a，则，，

Rt△FHB中，．

∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为．