Question

设椭圆的左、右焦点分别为，左项点为上顶点为.已知.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设为椭圆上在第一象限内一点,射线与椭圆的另一个公共点为,满足，直线交轴于点，的面积为.

(i)求椭圆的方程.

(ii)过点作不与轴垂直的直线交椭圆于（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由.

Answer

（1）；（2）(i) (ii) 是定值，证明见解析.

【解析】

（1）根据，得到，之间的关系，从而得到离心率；（2）(i)设椭圆方程为，根据，得到，代入椭圆方程得，从而得到直线的方程和点坐标，表示出的面积，解出，得到椭圆方程；(ii) 设直线的方程为: ，与椭圆联立得到，，对进行计算化简，从而得到，是定值.

（1），，则

因为，

所以

解得，

所以.

（2）(i)由（1）得，即，

设椭圆的标准方程为.

由题意设，所以，

由，易知，

所以，得，

代入椭圆方程得，

所以

所以，直线，

令得

所以，

所以，

解得，

所以椭圆的方程为

(ii)显然点在椭圆内部，直线的斜率存在且不为.

设直线的方程为:

联立方程，化简得，

设，

则，

又，则，，

所以是定值.