Question

设，.已知函数，.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x₀，y₀）处有相同的切线，

（i）求证：在处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.

Answer

（I）单调递增区间为，，单调递减区间为.（II）（i）见解析.（ii）.

【解析】

试题求导数后因式分解根据，得出，根据导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间，对求导，根据函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，解得，根据的单调性可知在上恒成立，关于x的不等式在区间上恒成立，得出，得，，

求出的范围，得出的范围.

试题解析：（I）由，可得

，

令，解得，或.由，得.

当变化时，，的变化情况如下表：

所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为.

（II）（i）因为，由题意知，

所以，解得.

所以，在处的导数等于0.

（ii）因为，，由，可得.

又因为，，故为的极大值点，由（I）知.

另一方面，由于，故，

由（I）知在内单调递增，在内单调递减，

故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.

由，得，.

令，，所以，

令，解得（舍去），或.

因为，，，故的值域为.

所以，的取值范围是.