Question

设虚数z满足.

（1）求证：为定值；

（2）是否存在实数k，使为实数？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）存在，.

【解析】

（1）设（x，，），代入已知条件可得结果；

（2）假设存在实数k，使得为实数，利用复数的模的性质将化为，从而，继而可求得k的值.

（1）依题意，设（x，，），代入，

得，整理得，即，所以为定值；

（2）假设存在实数k，使得为实数，即：

为实数，，

，，故存在实数k，使为实数，此时.