Question

已知函数的部分图象如图所示.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）当时，试由实数的取值讨论函数的零点个数.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）当或时，函数的零点个数为0；当或时，函数的零点个数为1；当时，函数的零点个数为2.

【解析】

（Ⅰ）由图可得，再根据最小正周期求出，最后由函数过点代入计算可得.

（Ⅱ）在内的零点个数即函数与的图象在时公共点的个数.求出的单调区间及对应的函数值取值范围，再分类讨论可得.

【解析】
（Ⅰ）由图，可知.

函数最小正周期，则.∴.

又，则，.

∴，.

又，∴.

∴函数的解析式为.

（Ⅱ）由题意，在内的零点个数即函数与的图象在时公共点的个数.

由（Ⅰ），知，.

∵，，，

由图，知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

（i）当或时，

与的图象在时没有公共点，

（ii）当或时，

与的图象在时恰有一个公共点；

（iii）当时，

与的图象在时恰有两个公共点.

综上可知，当或时，函数的零点个数为0；

当或时，函数的零点个数为1；

当时，函数的零点个数为2.