Question

设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数.

（Ⅰ）证明：函数的图象关于点对称；

（Ⅱ）已知函数的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据题意计算可得；

（Ⅱ）首先求出的值域，若对任意的，总存在，使得成立，则函数值域为函数的值域的子集，再利用二次函数的性质分类讨论可得.

（Ⅰ）∵，，

∴.

∴.

即对任意的，都有成立.

∴函数的图象关于点对称.

（Ⅱ）∵，易知在上单调递增.

∴在时的值域为.

记函数，的值域为.

若对任意的，总存在，使得成立，则

.

∵时，，

∴，即函数的图象过对称中心.

（i）当，即时，函数在上单调递增.由对称性知，在上单调递增.

∴函数在上单调递增.

易知.又，∴，则.

由，得，解得.

（ii）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增.

由对称性，知在上单调递增，在上单调递减.

∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

∴结合对称性，知或.

∵，∴.

又，∴.

易知.又，

∴.

∴当时，成立.

（iii）当，即时，函数在上单调递减.

由对称性，知在上单调递减.

∴函数在上单调递减.

易知.又，

∴，则.

由，得.解得.

综上可知，实数的取值范围为.