Question

已知函数是上的奇函数

（1）求；

（2）用定义法讨论在上的单调性；

（3）若在上恒成立,求的取值范围．

Answer

（1）；（2） 是上的增函数；（3）.

【解析】

（1）利用奇函数的定义直接求解即可；

（2）用函数的单调性的定义，结合指数函数的单调性直接求解即可；

（3）利用函数的奇函数的性质、单调性原问题可以转化为在上恒成立，利用换元法，再转化为一元二次不等式恒成立问题，分类讨论，最后求出的取值范围.

（1）函数是上的奇函数

即

即

解得；

（2）由（1）知

设,则

故,,

故

即

是上的增函数．

（3）是上的奇函数,是上的增函数

在上恒成立

等价于

等价于在上恒成立

即在上恒成立“*”

令

则“*”式等价于对时恒成立“**”

①当,即时“**”为对时恒成立

②当,即时,“**”对时恒成立

须或

解得

综上,的取值范围是．