Question

对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”

（1）若是向量组的“长向量”，且，求实数的取值范围；

（2）已知，，均是向量组的“长向量”，试探究，，的等量关系并加以证明．

Answer

（1）；（2），证明见解析.

【解析】

（1）根据长向量的定义可知，结合条件用坐标表示出和，即可由向量的模长公式得关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围.

（2）由“长向量”定义可得的不等式组，对三组式子合并化简即可证明.

（1）由“长向量”定义得.

因为，所以,,，

∴，

∴，解得，

∴实数的取值范围为.

（2）,,的等量关系为.

证明:由题意可知,是向量组的“长向量”，即满足.

所以，即，

展开化简可得，

同理,也是向量组的“长向量”，

则，

，

三式相加并化简得:，

即,，

∴.