Question

设等差数列的公差,前项和为,且满足,

（1）试寻找一个等差数列和一个非负常数,使得等式对于任意的正整数恒成立,并说明你的理由；

（2）对于（1）中的等差数列和非负常数,试求（）的最大值.

Answer

（1），详见解析（2）

【解析】

（1）由,,可得,,解得.可得.由对于任意的正整数恒成立,可得.分别令,及其,即可解得.

（2）由（1）可得：,,,公差.可得.于是.令,（）,利用导数研究其单调性最值即可得出.

【解析】
（1）,,

,,

解得,.

.

.

对于任意的正整数恒成立,

.

分别令,则,,.

可得,,.

数列是等差数列，

.

化为：,解得或.

，

.

（2）由（1）可得：,,,公差.

.

.

令,（）,

,

可得：时,,函数单调递减；

时,,函数单调递增.

又,.

因此当时,时,取得最小值，

故时，取得最大值.