Question

设椭圆：（）,左、右焦点分别是、且,以为圆心,3为半径的圆与以为圆心,1为半径的圆相交于椭圆上的点

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆：,为椭圆上任意一点,过点的直线交椭圆于两点,射线交椭圆于点

①求的值；

②令,求的面积的最大值.

Answer

（1）（2）①②

【解析】

（1）运用圆与圆的位置关系,和的关系,计算即可得到,进而得到椭圆的方程；

（2）求得椭圆的方程，①设，，求得的坐标，分别代入椭圆的方程，化简整理,即可得到所求值；

②设，将直线代入椭圆的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线代入椭圆的方程，由判别式大于0，可得的范围,结合二次函数的最值,，的面积为，即可得到所求的最大值.

【解析】
（1）由题意可知，，可得，

又

,

,

即有椭圆的方程为；

（2）由（1）知椭圆的方程为,

①设,,由题意可知,

,由于,

代入化简可得,

所以,即；

②设,,将直线代入椭圆的方程,可得

,由,可得,③

则有,,

所以,

由直线与轴交于,

则的面积为

设,则,

将直线代入椭圆的方程,

可得,

由可得,④

由③④可得,则在递增，即有取得最大值，

即有，即，取得最大值，

由①知，的面积为，

即面积的最大值为.