Question

已知函数.

(1)求函数的单调区间.

(2)当时，证明:对任意的，均有成立.

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据函数解析式确定函数定义域和导函数；分别在和两种情况下讨论导函数的正负，从而得到函数的单调区间；

（2）将所证不等式转化为证明对任意恒成立；令，利用导数可得到的单调性，从而求得的最值为，由可证得结论.

（1）由题意得：定义域为

①当时， 在上恒成立

的单调递增区间为，无单调递减区间

②当时，当时，；当时，

的单调递增区间为，单调递减区间为

（2）当时，

等价于

即证对任意的恒成立

令，则

当时，；当时，

在上单调递减，在上单调递增

恒成立

即对任意的，均有成立