Question

设函数.

(1)当时，求证函数在上是增函数.

(2)若函数在上有两个不同的零点，求的取值范围.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）分别求得一阶导和二阶导，由二阶导的正负可确定一阶导的单调性，从而得到，确定恒大于等于零，由此可得结论；

（2）将问题转化为与有两个不同交点的问题；利用导数可确定的单调性，得到的图象，利用数形结合的方式求得结果.

（1）当时，，则，

当时，；当时，

在上单调递减，在上单调递增

且不恒等于 在上是增函数

（2）函数在有两个不同的零点，即在有两个不同的解，即在有两个不同的解

令，则问题等价于与有两个不同交点

当时，；当时，

在上单调递减，在上单调递增

由此可得图象如下图所示：

由图象可知，当时，与有两个不同交点

时，在上有两个不同的零点