Question

已知四棱锥的底面是菱形.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若 求证：；

（Ⅲ）（下面两问任选一问作答，第（1）问满分4分，第（2）问满分5分）

①分别是上的点，若,，求的值.

②若， ， ，判断△是否为等腰三角形？并说明理由.

Answer

（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）由四边形是菱形，所以 ，利用线面平行的判定定理，即可求解；

（Ⅱ）设，由四边形是菱形，得到，再由，证得 ，利用线面垂直的判定，即可证得.

（Ⅲ）①过作交于，连接，利用线面平行的性质，得，进而由，即可得到结论；

②作交于点，连接，利用面面垂直的性质，得到，又由.得到，进而得出是等边三角形，即可得到结论.

（Ⅰ）证明：因为 四边形是菱形，所以 .

因为 ，，所以 .

（Ⅱ）证明：设.

因为 四边形是菱形，所以 ，.

因为 ，所以 .

因为 ，平面， 所以 .

（Ⅲ）①过作交于，连接.

在菱形中， ，.所以 .所以 共面.

因为 ， ，所以 .

所以 四边形为平行四边形.所以 .

因为 ，所以 .

②△不可能为等腰三角形，理由如下：

作交于点，连接.

因为 ，平面平面，平面，

所以 平面.

所以 .

因为 ，，所以 .所以 .

所以 ，，，.

所以 .所以 .

在菱形中，，所以 是等边三角形.

所以 为的中点.所以 .所以 .

所以 △不可能为等腰三角形.