Question

已知函数（为常数，且），且数列是首项为，公差为的等差数列．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，当时，求数列的前项和的最小值；

（3）若，问是否存在实数，使得是递增数列？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）由题意得出，利用对数运算得出，然后计算出为非零常数，利用等比数列的定义可证明出数列是等比数列；

（2）求出和，利用分组求和法得出，然后分析数列为单调递增数列，可得出该数列的最小值为，由此可得出结果；

（3）求出，由数列是递增数列，得出，可得出，然后分和两种情况分类讨论，利用不等式的性质和参变量分离法可得出实数的取值范围.

（1）证明：由题意，

即，得，且，．

常数且，为非零常数，

数列是以为首项，为公比的等比数列；

（2）当时，，，.

.

，数列是递增数列，

因而最小值为；

（3）由（1）知，，要使对一切成立，

即对一切成立．

当时，，对一切恒成立；

当时，，对一切恒成立，只需，

单调递增，当时，．

，且，．

综上所述，存在实数满足条件．