Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是AA₁，D₁C₁的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面A₁B₁C₁D₁相交于直线l.

（1）画出直线l的位置；   

（2）设l∩A₁B₁＝P，求线段PB₁的长．

Answer

(1)证明见解析；(2) .

【解析】

（1）根据直线相交得交点，交点连线得交线（2）先根据相似得A1P＝a，再根据等量关系得线段PB1的长．

(1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置．

(2)∵M为AA1的中点，AD∥ED1，

∴AD＝A1E＝A1D1＝a.

∵A1P∥D1N，且D1N＝a，

∴A1P＝D1N＝a，

于是PB1=A1B1-A1P=a-a=a.