Question

已知以点C（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为原点．

（1）求证：△OAB的面积为定值；

（2）设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．

Answer

（1）证明见解析（2）圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5

【解析】

（1）先求出圆C的方程（x－t）2＋＝t2＋，再求出|OA|,|0B|的长，即得△OAB的面积为定值；（2）根据t得到t＝2或t＝－2，再对t分类讨论得到圆C的方程．

（1）证明：因为圆C过原点O，所以OC2＝t2＋.

设圆C的方程是（x－t）2＋＝t2＋，

令x＝0，得y1＝0，y2＝；

令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，

所以S△OAB＝OA·OB＝×|2t|×||＝4，

即△OAB的面积为定值．

（2）因为OM＝ON，CM＝CN，所以OC垂直平分线段MN.

因为kMN＝－2，所以kOC＝.

所以t，解得t＝2或t＝－2.

当t＝2时，圆心C的坐标为（2，1），OC＝，

此时，圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．

符合题意，此时，圆的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.

当t＝－2时，圆心C的坐标为（－2，－1），OC＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，

所以t＝－2不符合题意，舍去．

所以圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.