Question

已知函数.

(1)若,求方程的解集；

(2)若函数恰有两个不同的零点,求的值.

Answer

(1)；(2)当时,；当时,.

【解析】

（1）分类讨论解方程即可；

（2）将转化为讨论函数的公共点问题,分类讨论求解.

(1)当时,,所以

所以或,解得或

所以当时,方程的解集为；

(2)由题意令得,记,

作函数与的图象,

由函数在定义域(1,+∞)内恰有两个不同的零点,

可知不合题意,故

如图所示,要使函数恰有两个不同的零点,则应有直线与函数的图象相切或者直线经过点

(i)当直线与函数的图象相切时,

联立方程,消去得,

由得,所以(舍去)或

此时,直线,联立,解得

所以；

(ii)当直线经过点时,有,

所以,得

此时直线方程为

联立,消去解得,

所以.

综上所述,当时,；当时,.