Question

已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是(     )

A. B. C. D.

Answer

C

【解析】

函数y＝f[f（x）]+1的零点个数，即为方程f[f（x）]＝﹣1的解的个数，结合函数f（x）图象，分类讨论判断，求解方程可得答案．

函数y＝f（f（x））+1的零点，

即方程f[f（x）]＝﹣1的解个数，

（1）当a＝0时，f（x），

当x＞1时，x，f（f（x））＝﹣1成立，∴方程f[f（x）]＝﹣1有1解

当0＜x＜1，log2x＜0，∴方程f[f（x）]＝﹣1无解，

当x≤0时，f（x）＝1，f（f（x））＝0，∴方程f[f（x）]＝﹣1无解，

∴f（f（x））＝﹣1有1解，

故a＝0不符合题意，

（2）当a＞0时，

当x＞1时，x，f（f（x））＝﹣1成立，

当0＜x＜1，log2x＜0，∴方程f[f（x）]＝﹣1有1解，

当x≤0时，0＜f（x）≤1，∴f（f（x））＝﹣1有1解，

当x时，f（x）＜0，∴f（f（x））＝﹣1有1解，

故，f（f（x））＝﹣1有4解，

（3）当a＜0时，

当x＞1时，x，f（f（x））＝﹣1成立，∴f（f（x））＝﹣1有1解，

当0＜x≤1时，f（x）≤0．，成立, 方程f[f（x）]＝﹣1无解，，

当x≤0时，f（x）≥1，，成立, 方程f[f（x）]＝﹣1无解，

故f（f（x））＝﹣1有1解，不符合题意，

综上：a＞0

故选C